「確率過程」の記事一覧

はじめに¶ただいま確率過程について勉強中なのだが，式展開に疲れたのでさっと「一般Wiener過程」のサンプルパスを作成してみた． 確率過程全般に関する記事は，改めて書きたいと思う．(火傷しそうで怖いけど) 一般Wiener過程¶一般Wiener過程とは，以下の式で表される確率過程のこと． $$ \delta x = a \delta t + b \epsilon \sqrt{\delta t} $$ 状態変数$x$の微小時間 $ \delta t$での変位 $ \delta x$ は，右辺第一項トレンドと第二項ボラティリティからなる． ここで，$a$,$b$はパラメータ(定数)であり，確率界隈ではそれぞれドリフト係数,拡散係数などと呼んだりする．$\epsilon$は正規分布$N(0,1)$に従うノイズである． なぜ$ \sqrt{\delta t}$なんてものがでてくるのか，なぜこのような式が導出されるのか， 不思議なことはいっぱいだが，その解説をここに示すには余白が狭すぎる． とりあえず今回はサンプルパスを作成して満足する． 参考文献 訳本もでている 実装¶さっそく実装していく． In [1]: #import import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline In [2]: #さきほどの式にそのまま対応する関数を作成 def dx(a,b,dt): e = np.random.normal(0,1) return a*dt + b * e * np.sqrt(dt) In [3]: #微小時間幅を設定 dt = 0.1 #時系列tを作成(今回は[0,100]の範囲) t_list = np.arange(0,100,dt) #ドリフト係数 a = 0 #拡散係数 b = 1 In [4]: #100サンプルパスを描画してみる plt.figure(figsize=(20,10)) for i in range(100): #まずdxのりストを作成し dx_list = np.array([dx(a,b,dt) for k in range(int(100/dt))]) #状態変数xの時系列は，その累積和で表現(つまりx(0)=0) #累積和はcumsum()関数を使用 x_list = dx_list.cumsum() #描画 #alphaは線濃度を指定する引数 plt.plot(t_list, x_list, color="black", alpha=0.1) いい感じに描画できました． 少しモチベショーンは違うが，以下の時系列モデリングの解説PDFにでているサンプルパスと似た絵がかけた． kubo2015hro10.pdf $a$を変えてみる． In [5]: #ドリフト係数 a = 1 #100サンプルパスを描画してみる plt.figure(figsize=(20,10)) for i in range(100): dx_list = np.array([dx(a,b,dt) for k in range(int(100/dt))]) x_list = dx_list.cumsum() plt.plot(t_list, x_list, color="black", alpha=0.1) plt.plot(t_list, a*t_list, color="red", label=r"y=ax") plt.legend() Out[5]: 赤線がトレンド項を表す．なんとなく，赤線のまわりにまとわりついているように見えるが，時間が経つにつれだんだんと滲んでくるのがわかる． この滲みは時刻$t$における確率変数$x$の分散として，数学的に記述できるが今回は割愛． おわりに¶数式もコード書いた方がイメージが掴める派なので，今後も数学とプログラムを対応させて勉強していきたい．

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Pythonで一般Wiener過程のサンプルパスを描いた